3.280 \(\int \frac{\cos ^2(e+f x)}{(a+b \sec ^2(e+f x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=131 \[ \frac{(a-3 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tan (e+f x)}{\sqrt{a+b \tan ^2(e+f x)+b}}\right )}{2 a^{5/2} f}+\frac{b (a+3 b) \tan (e+f x)}{2 a^2 f (a+b) \sqrt{a+b \tan ^2(e+f x)+b}}+\frac{\sin (e+f x) \cos (e+f x)}{2 a f \sqrt{a+b \tan ^2(e+f x)+b}} \]

[Out]

((a - 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*a^(5/2)*f) + (Cos[e + f*x]*Sin[e
+ f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + (b*(a + 3*b)*Tan[e + f*x])/(2*a^2*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Ta
n[e + f*x]^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.155055, antiderivative size = 131, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.24, Rules used = {4146, 414, 527, 12, 377, 203} \[ \frac{(a-3 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tan (e+f x)}{\sqrt{a+b \tan ^2(e+f x)+b}}\right )}{2 a^{5/2} f}+\frac{b (a+3 b) \tan (e+f x)}{2 a^2 f (a+b) \sqrt{a+b \tan ^2(e+f x)+b}}+\frac{\sin (e+f x) \cos (e+f x)}{2 a f \sqrt{a+b \tan ^2(e+f x)+b}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

((a - 3*b)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(2*a^(5/2)*f) + (Cos[e + f*x]*Sin[e
+ f*x])/(2*a*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + (b*(a + 3*b)*Tan[e + f*x])/(2*a^2*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Ta
n[e + f*x]^2])

Rule 4146

Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = Fre
eFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[(1 + ff^2*x^2)^(m/2 - 1)*ExpandToSum[a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/
2), x]^p, x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2]

Rule 414

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(b*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(
c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), x] + Dist[1/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*
(c + d*x^n)^q*Simp[b*c + n*(p + 1)*(b*c - a*d) + d*b*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d,
n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &&  !( !IntegerQ[p] && IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]) && IntBinomial
Q[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 527

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d
)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)
*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\cos ^2(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1+x^2\right )^2 \left (a+b+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac{\cos (e+f x) \sin (e+f x)}{2 a f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{-a+b-2 b x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{2 a f}\\ &=\frac{\cos (e+f x) \sin (e+f x)}{2 a f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac{b (a+3 b) \tan (e+f x)}{2 a^2 (a+b) f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a-3 b) (a+b)}{\left (1+x^2\right ) \sqrt{a+b+b x^2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{2 a^2 (a+b) f}\\ &=\frac{\cos (e+f x) \sin (e+f x)}{2 a f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac{b (a+3 b) \tan (e+f x)}{2 a^2 (a+b) f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac{(a-3 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1+x^2\right ) \sqrt{a+b+b x^2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{2 a^2 f}\\ &=\frac{\cos (e+f x) \sin (e+f x)}{2 a f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac{b (a+3 b) \tan (e+f x)}{2 a^2 (a+b) f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac{(a-3 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+a x^2} \, dx,x,\frac{\tan (e+f x)}{\sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}\right )}{2 a^2 f}\\ &=\frac{(a-3 b) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a} \tan (e+f x)}{\sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}\right )}{2 a^{5/2} f}+\frac{\cos (e+f x) \sin (e+f x)}{2 a f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac{b (a+3 b) \tan (e+f x)}{2 a^2 (a+b) f \sqrt{a+b+b \tan ^2(e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 15.4625, size = 2059, normalized size = 15.72 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Cos[e + f*x]^2/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]^6*Sin[e + f*x]
)/(2*f*Sqrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)]]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b)*A
ppellF1[1/2, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -2, 5/2, 5/2, Sin[
e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 4*(a + b)*AppellF1[3/2, -1, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x
]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)*((3*a*(a + b)*AppellF1[1/2, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a
+ b)]*Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)]]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^2*(3*(a +
b)*AppellF1[1/2, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -2, 5/2, 5/2,
Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 4*(a + b)*AppellF1[3/2, -1, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e
+ f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) + (3*(a + b)*AppellF1[1/2, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^
2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]^5)/(2*Sqrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)]]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b)*Appell
F1[1/2, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -2, 5/2, 5/2, Sin[e + f
*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 4*(a + b)*AppellF1[3/2, -1, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/
(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) - (6*(a + b)*AppellF1[1/2, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)
]*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)]]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b)*App
ellF1[1/2, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -2, 5/2, 5/2, Sin[e
+ f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 4*(a + b)*AppellF1[3/2, -1, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^
2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) + (3*(a + b)*Cos[e + f*x]^4*Sin[e + f*x]*((a*f*AppellF1[3/2, -2, 5/2, 5/2, Sin[e
+ f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a + b) - (4*f*AppellF1[3/2, -1, 3/2, 5/2, S
in[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/3))/(2*f*Sqrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x
)]]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a +
b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -2, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 4*(a + b)*AppellF1[3/2, -
1, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) - (3*(a + b)*AppellF1[1/2, -2, 3/2,
3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]^4*Sin[e + f*x]*(2*f*(3*a*AppellF1[3/2, -2, 5/2,
5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 4*(a + b)*AppellF1[3/2, -1, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*S
in[e + f*x]^2)/(a + b)])*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x] + 3*(a + b)*((a*f*AppellF1[3/2, -2, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^
2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a + b) - (4*f*AppellF1[3/2, -1, 3/2, 5/2, Sin[e + f
*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/3) + Sin[e + f*x]^2*(3*a*((3*a*f*AppellF1[5/2, -
2, 7/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a + b) - (12*f*AppellF1[5
/2, -1, 5/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/5) - 4*(a + b)*((9*a*
f*AppellF1[5/2, -1, 5/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(5*(a + b
)) - (6*f*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[3/2, 5/2, 7/2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Sin[e + f*x])/5))))/(2*f*S
qrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)]]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*
x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -2, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b
)] - 4*(a + b)*AppellF1[3/2, -1, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)^2) + (
3*a*(a + b)*AppellF1[1/2, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]^4*Sin[e + f*x
]*Sin[2*(e + f*x)])/(2*(a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)])^(3/2)*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2
, -2, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -2, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2,
(a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 4*(a + b)*AppellF1[3/2, -1, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b
)])*Sin[e + f*x]^2))))

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.342, size = 1646, normalized size = 12.6 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x)

[Out]

1/2/f/(a+b)/((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)/a^2*(b+a*cos(f*x+e)^2)*(2*2^(1/2)*(1/(a+b)*(I*cos(f*x+e)*a
^(1/2)*b^(1/2)-I*a^(1/2)*b^(1/2)+a*cos(f*x+e)+b)/(1+cos(f*x+e)))^(1/2)*(-2/(a+b)*(I*cos(f*x+e)*a^(1/2)*b^(1/2)
-I*a^(1/2)*b^(1/2)-a*cos(f*x+e)-b)/(1+cos(f*x+e)))^(1/2)*EllipticPi((-1+cos(f*x+e))*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)
/(a+b))^(1/2)/sin(f*x+e),-1/(2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)*(a+b),(-(2*I*a^(1/2)*b^(1/2)-a+b)/(a+b))^(1/2)/((2*I*a^(
1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2))*a^2*sin(f*x+e)-4*2^(1/2)*(1/(a+b)*(I*cos(f*x+e)*a^(1/2)*b^(1/2)-I*a^(1/2)*b^(1
/2)+a*cos(f*x+e)+b)/(1+cos(f*x+e)))^(1/2)*(-2/(a+b)*(I*cos(f*x+e)*a^(1/2)*b^(1/2)-I*a^(1/2)*b^(1/2)-a*cos(f*x+
e)-b)/(1+cos(f*x+e)))^(1/2)*EllipticPi((-1+cos(f*x+e))*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)/sin(f*x+e),-1/(
2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)*(a+b),(-(2*I*a^(1/2)*b^(1/2)-a+b)/(a+b))^(1/2)/((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2
))*a*b*sin(f*x+e)-6*2^(1/2)*(1/(a+b)*(I*cos(f*x+e)*a^(1/2)*b^(1/2)-I*a^(1/2)*b^(1/2)+a*cos(f*x+e)+b)/(1+cos(f*
x+e)))^(1/2)*(-2/(a+b)*(I*cos(f*x+e)*a^(1/2)*b^(1/2)-I*a^(1/2)*b^(1/2)-a*cos(f*x+e)-b)/(1+cos(f*x+e)))^(1/2)*E
llipticPi((-1+cos(f*x+e))*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)/sin(f*x+e),-1/(2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)*(a+b
),(-(2*I*a^(1/2)*b^(1/2)-a+b)/(a+b))^(1/2)/((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2))*b^2*sin(f*x+e)-2^(1/2)*(1/
(a+b)*(I*cos(f*x+e)*a^(1/2)*b^(1/2)-I*a^(1/2)*b^(1/2)+a*cos(f*x+e)+b)/(1+cos(f*x+e)))^(1/2)*(-2/(a+b)*(I*cos(f
*x+e)*a^(1/2)*b^(1/2)-I*a^(1/2)*b^(1/2)-a*cos(f*x+e)-b)/(1+cos(f*x+e)))^(1/2)*EllipticF((-1+cos(f*x+e))*((2*I*
a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)/sin(f*x+e),(-(4*I*a^(3/2)*b^(1/2)-4*I*a^(1/2)*b^(3/2)-a^2+6*a*b-b^2)/(a+b)^2
)^(1/2))*a^2*sin(f*x+e)+2*2^(1/2)*(1/(a+b)*(I*cos(f*x+e)*a^(1/2)*b^(1/2)-I*a^(1/2)*b^(1/2)+a*cos(f*x+e)+b)/(1+
cos(f*x+e)))^(1/2)*(-2/(a+b)*(I*cos(f*x+e)*a^(1/2)*b^(1/2)-I*a^(1/2)*b^(1/2)-a*cos(f*x+e)-b)/(1+cos(f*x+e)))^(
1/2)*EllipticF((-1+cos(f*x+e))*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)/sin(f*x+e),(-(4*I*a^(3/2)*b^(1/2)-4*I*a
^(1/2)*b^(3/2)-a^2+6*a*b-b^2)/(a+b)^2)^(1/2))*a*b*sin(f*x+e)+3*2^(1/2)*(1/(a+b)*(I*cos(f*x+e)*a^(1/2)*b^(1/2)-
I*a^(1/2)*b^(1/2)+a*cos(f*x+e)+b)/(1+cos(f*x+e)))^(1/2)*(-2/(a+b)*(I*cos(f*x+e)*a^(1/2)*b^(1/2)-I*a^(1/2)*b^(1
/2)-a*cos(f*x+e)-b)/(1+cos(f*x+e)))^(1/2)*EllipticF((-1+cos(f*x+e))*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)/si
n(f*x+e),(-(4*I*a^(3/2)*b^(1/2)-4*I*a^(1/2)*b^(3/2)-a^2+6*a*b-b^2)/(a+b)^2)^(1/2))*b^2*sin(f*x+e)+cos(f*x+e)^3
*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)*a^2+cos(f*x+e)^3*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)*a*b-cos(f*x+
e)^2*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)*a^2-cos(f*x+e)^2*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)*a*b+cos(
f*x+e)*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)*a*b+3*cos(f*x+e)*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)*b^2-((
2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)*a*b-3*((2*I*a^(1/2)*b^(1/2)+a-b)/(a+b))^(1/2)*b^2)*sin(f*x+e)/(-1+cos(f*
x+e))/cos(f*x+e)^3/((b+a*cos(f*x+e)^2)/cos(f*x+e)^2)^(3/2)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\cos \left (f x + e\right )^{2}}{{\left (b \sec \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(cos(f*x + e)^2/(b*sec(f*x + e)^2 + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 1.93877, size = 1640, normalized size = 12.52 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/16*((a^2*b - 2*a*b^2 - 3*b^3 + (a^3 - 2*a^2*b - 3*a*b^2)*cos(f*x + e)^2)*sqrt(-a)*log(128*a^4*cos(f*x + e)^
8 - 256*(a^4 - a^3*b)*cos(f*x + e)^6 + 32*(5*a^4 - 14*a^3*b + 5*a^2*b^2)*cos(f*x + e)^4 + a^4 - 28*a^3*b + 70*
a^2*b^2 - 28*a*b^3 + b^4 - 32*(a^4 - 7*a^3*b + 7*a^2*b^2 - a*b^3)*cos(f*x + e)^2 - 8*(16*a^3*cos(f*x + e)^7 -
24*(a^3 - a^2*b)*cos(f*x + e)^5 + 2*(5*a^3 - 14*a^2*b + 5*a*b^2)*cos(f*x + e)^3 - (a^3 - 7*a^2*b + 7*a*b^2 - b
^3)*cos(f*x + e))*sqrt(-a)*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e)) + 8*((a^3 + a^2*b)*cos(f*
x + e)^3 + (a^2*b + 3*a*b^2)*cos(f*x + e))*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e))/((a^5 + a
^4*b)*f*cos(f*x + e)^2 + (a^4*b + a^3*b^2)*f), -1/8*((a^2*b - 2*a*b^2 - 3*b^3 + (a^3 - 2*a^2*b - 3*a*b^2)*cos(
f*x + e)^2)*sqrt(a)*arctan(1/4*(8*a^2*cos(f*x + e)^5 - 8*(a^2 - a*b)*cos(f*x + e)^3 + (a^2 - 6*a*b + b^2)*cos(
f*x + e))*sqrt(a)*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x + e)^2)/((2*a^3*cos(f*x + e)^4 - a^2*b + a*b^2 - (a^3 -
3*a^2*b)*cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e))) - 4*((a^3 + a^2*b)*cos(f*x + e)^3 + (a^2*b + 3*a*b^2)*cos(f*x + e))*sq
rt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e))/((a^5 + a^4*b)*f*cos(f*x + e)^2 + (a^4*b + a^3*b^2)*f)
]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\cos ^{2}{\left (e + f x \right )}}{\left (a + b \sec ^{2}{\left (e + f x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)**2/(a+b*sec(f*x+e)**2)**(3/2),x)

[Out]

Integral(cos(e + f*x)**2/(a + b*sec(e + f*x)**2)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\cos \left (f x + e\right )^{2}}{{\left (b \sec \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(f*x+e)^2/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(cos(f*x + e)^2/(b*sec(f*x + e)^2 + a)^(3/2), x)